Induksi matematik adalah kaedah deduktif yang digunakan untuk membuktikan pernyataan yang benar atau salah.
Anda mesti belajar induksi matematik di sekolah menengah. Seperti yang kita ketahui, aruhan matematik adalah lanjutan dari logik matematik.
Dalam aplikasinya, logik matematik digunakan untuk mengkaji pernyataan yang salah atau benar, setara atau penolakan dan membuat kesimpulan.
Konsep asas
Aruhan matematik adalah kaedah deduktif yang digunakan untuk membuktikan pernyataan yang benar atau salah.
Dalam prosesnya, kesimpulan dibuat berdasarkan kesahan pernyataan yang diterima umum sehingga pernyataan khusus juga dapat benar. Di samping itu, pemboleh ubah dalam aruhan matematik juga dianggap sebagai anggota set nombor semula jadi.
Pada asasnya, terdapat tiga langkah dalam induksi matematik untuk membuktikan sama ada formula atau pernyataan boleh benar atau sebaliknya.
Langkah-langkah ini adalah:
- Buktikan bahawa pernyataan atau formula adalah benar untuk n = 1.
- Andaikan pernyataan atau formula adalah benar untuk n = k.
- Buktikan bahawa pernyataan atau formula adalah benar untuk n = k + 1.
Dari langkah-langkah di atas, kita dapat menganggap bahawa pernyataan mesti disahkan untuk n = k dan n = k + 1.
Jenis Induksi Matematik
Terdapat pelbagai jenis masalah matematik yang dapat diselesaikan melalui induksi matematik. Oleh itu, aruhan matematik dapat dibahagikan kepada tiga jenis, iaitu siri, pembahagian dan ketaksamaan.
1. Seri
Dalam siri jenis ini, biasanya masalah aruhan matematik dijumpai dalam bentuk penambahan berturut-turut.
Jadi, dalam masalah siri, kebenaran mesti dibuktikan pada istilah pertama, istilah k-dan istilah-term (k + 1).
2. Bahagian
Kita dapat mencari jenis induksi matematik pembahagian dalam pelbagai masalah yang menggunakan ayat berikut:
- a dibahagi oleh b
- faktor b a
- b membahagi a
- gandaan b
Keempat ciri ini menunjukkan bahawa pernyataan itu dapat diselesaikan dengan menggunakan aruhan matematik jenis pembahagian.
Yang perlu diingat ialah, jika nombor a dibahagi dengan b maka a = bm di mana m adalah bilangan bulat.
3. Ketaksamaan
Jenis ketaksamaan ditunjukkan dengan tanda lebih atau kurang daripada yang terdapat dalam pernyataan tersebut.
Terdapat sifat yang sering digunakan dalam menyelesaikan ketidaksamaan aruhan matematik. Ciri-ciri ini adalah:
- a> b> c ⇒ a> c atau a <b <c ⇒ a <c
- a 0 ⇒ ac <bc atau a> b dan c> 0 ⇒ ac> bc
- a <b ⇒ a + c <b + c atau a> b ⇒ a + c> b + c
Original text
Contoh Masalah Induksi Matematik
Berikut ini adalah masalah contoh sehingga anda dapat lebih memahami cara menyelesaikan bukti formula menggunakan aruhan matematik.
Baris
Contoh 1
Buktikan 2 + 4 + 6 +… + 2n = n (n + 1), untuk setiap n nombor semula jadi.
Jawapan:
P (n): 2 + 4 + 6 +… + 2n = n (n + 1)
Ini akan dibuktikan bahawa n = (n) adalah benar untuk setiap n ∈ N
Langkah Pertama :
Ini akan ditunjukkan bahawa n = (1) betul
2 = 1 (1 + 1)
Jadi, P (1) betul
Langkah Kedua :
Andaikan n = (k) adalah benar i.e.
2 + 4 + 6 +… + 2k = k (k + 1), k ∈ N
Langkah ketiga
Ini akan ditunjukkan bahawa n = (k + 1) juga benar, iaitu
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)
Dari anggapan:
2 + 4 + 6 +… + 2k = k (k + 1)
Tambahkan kedua-dua sisi dengan u k + 1 :
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = k (k + 1) + 2 (k + 1)
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 2)
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)
Jadi, n = (k + 1) betul
Contoh 2
Gunakan aruhan matematik untuk membuktikan persamaan
Sn = 1 + 3 + 5 +7 +… + (2n-1) = n2 untuk semua bilangan bulat n ≥ 1.
Jawapan:
Langkah Pertama :Ini akan ditunjukkan bahawa n = (1) betul
S1 = 1 = 12
Langkah Kedua
Andaikan bahawa n = (k) adalah benar, iaitu
1 + 3 + 5 +7 + ... + 2 (k) -1 = k2
1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) = k 2
Langkah ketiga
Buktikan bahawa n = (k + 1) adalah benar
1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) + [2 (k + 1) - 1] = (k + 1) 2
ingat bahawa 1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) = k2
kemudian
k2 + [2 (k + 1) - 1] = (k + 1) 2
k2 + 2k + 1 = (k + 1) 2
(k + 1) 2 = (k + 1) 2
maka persamaan di atas terbukti
Contoh 3
Buktikan bahawa 1 + 3 + 5 +… + (2n - 1) = n2 adalah benar, untuk setiap nombor n semula jadi
Jawapan:
Langkah Pertama :
Ini akan ditunjukkan bahawa n = (1) betul
1 = 12
Jadi, P (1) betul
Langkah Kedua :
Andaikan n = (k) adalah benar, iaitu
1 + 3 + 5 +… + (2k - 1) = k2, k ∈ N
Langkah ketiga:
Ini akan ditunjukkan bahawa n = (k + 1) juga benar, iaitu
1 + 3 + 5 +… + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = (k + 1) 2
Dari anggapan:1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k2
Tambahkan kedua-dua sisi dengan u k + 1 :
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = k2 + (2 (k + 1) - 1)
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = k2 + 2k +1
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = (k + 1) 2
Jadi, n = (k + 1) juga benar
Bahagian
Contoh 4
Buktikan bahawa n3 + 2n dibahagi dengan 3, untuk setiap n nombor semula jadi
Jawapan:
Langkah Pertama :
Ini akan ditunjukkan bahawa n = (1) betul
13 + 2.1 = 3 = 3.1
Jadi, n = (1) betul
Baca juga: Pemahaman dan Ciri Ideologi Komunis + ContohLangkah Kedua :
Andaikan n = (k) adalah benar, iaitu
k3 + 2k = 3m, k ∈ NN
Langkah ketiga:
Ini akan ditunjukkan bahawa n = (k + 1) juga benar, iaitu
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3p, p ∈ ZZ
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = (k3 + 3k2 + 3k + 1) + (2k + 2)
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = (k3 + 2k) + (3k2 + 3k + 3)
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3m + 3 (k2 + k + 1)
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3 (m + k2 + k + 1)
Oleh kerana m adalah bilangan bulat dan k adalah nombor semula jadi, (m + k2 + k + 1) adalah bilangan bulat.
Katakan p = (m + k2 + k + 1), kemudian
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3p, di mana p ∈ ZZ
Jadi, n = (k + 1) betul
Ketidaksamaan
Contoh 5
Buktikan bahawa bagi setiap nombor semula jadi n ≥ 2 adalah sah
3n> 1 + 2n
Jawapan:
Langkah Pertama :
Ini akan ditunjukkan bahawa n = (2) betul
32 = 9> 1 + 2.2 = 5
Jadi, P (1) betul
Langkah Kedua :
Andaikan n = (k) adalah benar, iaitu
3k> 1 + 2k, k ≥ 2
Langkah ketiga:
Ini akan ditunjukkan bahawa n = (k + 1) juga benar, iaitu
3k + 1> 1 + 2 (k + 1)
3k + 1 = 3 (3k)3k + 1> 3 (1 + 2k) (kerana 3k> 1 + 2k)
3k + 1 = 3 + 6k
3k + 1> 3 + 2k (kerana 6k> 2k)
3k + 1 = 1 + 2k + 2
3k + 1 = 1 + 2 (k + 1)
Jadi, n = (k + 1) juga benar
Contoh 6
Buktikan bahawa bagi setiap nombor semula jadi n ≥ 4 adalah sah
(n + 1)! > 3n
Jawapan:
Langkah Pertama :
Ini akan ditunjukkan bahawa n = (4) betul
(4 + 1)! > 34
sebelah kiri: 5! = 5.4.3.2.1 = 120
sebelah kanan: 34 = 81
Jadi, n = (4) betul
Langkah Kedua :
Andaikan n = (k) adalah benar, iaitu
(k + 1)! > 3k, k ≥ 4
Langkah ketiga:
Ini akan ditunjukkan bahawa n = (k + 1) juga benar, iaitu
(k + 1 + 1)! > 3k + 1
(k + 1 + 1)! = (k + 2)!(k + 1 + 1)! = (k + 2) (k + 1)!
(k + 1 + 1)! > (k + 2) (3k) (kerana (k + 1)!> 3k)
(k + 1 + 1)! > 3 (3k) (kerana k + 2> 3)
(k + 1 + 1)! = 3k + 1
Jadi, n = (k + 1) juga benar