Persamaan kuadratik adalah salah satu persamaan matematik bagi pemboleh ubah yang mempunyai daya tertinggi dua.
Bentuk umum persamaan kuadratik atau PK adalah seperti berikut:
ax 2 + bx + c = 0
di mana x adalah pemboleh ubah, a , b adalah pekali, dan c adalah pemalar. Nilai a tidak sama dengan sifar.
Bentuk Graf
Sekiranya persamaan kuadratik dijelaskan dari segi koordinat kartesian (x, y), ia akan membentuk graf parabola. Oleh itu, persamaan kuadratik juga sering disebut sebagai persamaan parabola .
Berikut adalah contoh bentuk persamaan ini dalam bentuk graf parabola.
Dalam persamaan umum nilai a , b , dan c sangat mempengaruhi corak parabola yang dihasilkan.
Nilai suatu menentukan lengkung cekung atau cembung parabola. Sekiranya nilai a> 0, maka parabola akan terbuka (cekung) . Sebaliknya, jika <0 , maka parabola akan terbuka ke bawah (cembung) .
Nilai b dalam persamaan menentukan puncak parabola . Dengan kata lain, tentukan nilai paksi simetri lengkung yang sama dengan x = - b / 2a .
Nilai pemalar c pada graf persamaan menentukan titik persilangan fungsi parabola pada paksi-y . Berikut adalah graf parabola dengan perubahan nilai malar c .
Akar Persamaan Kuadratik (PK)
Penyelesaian untuk persamaan kuadratik disebut kar-the root dari persamaan kuadratik .
Pelbagai Akar PK
Jenis akar PK dapat dijumpai dengan mudah menggunakan formula umum D = b2 - 4ac dari persamaan umum untuk ax2 kuadratik + bx + c = 0.
Berikut adalah jenis akar persamaan kuadratik.
1. Akar Sebenar (D> 0)
Sekiranya nilai D> 0 dari PK, ia akan menghasilkan akar persamaan sebenar tetapi dengan punca yang berbeza. Dengan kata lain x1 tidak sama dengan x2.
Contoh persamaan akar sebenar (D> 0)
Cari jenis persamaan x2 + 4x + 2 = 0.
Penyelesaian:
a = 1; b = 4; dan c = 2
D = b2 - 4ac
D = 42 - 4 (1) (2)
D = 16 - 8
D = 8
Oleh kerana nilai D> 0, maka root adalah jenis root sebenar.
2. Akar sebenar sama dengan x1 = x2 (D = 0)
Merupakan jenis punca persamaan kuadratik yang menghasilkan akar dengan nilai yang sama (x1 = x2).
Contoh akar sebenar (D = 0)
Cari nilai akar PK 2x2 + 4x + 2 = 0.
Baca juga: Jenis Kitaran Air (+ Gambaran Lengkap dan Penjelasan)Penyelesaian:
a = 2; b = 4; c = 2
D = b2 - 4ac
D = 42 - 4 (2) (2)
D = 16 - 16
D = 0
Oleh itu kerana nilai D = 0, terbukti bahawa akarnya nyata dan berkembar.
3. Akar Khayalan / Tidak Nyata (D <0)
Sekiranya nilai D <0, maka punca persamaan kuadratik akan menjadi khayalan / tidak nyata.
Contoh akar khayalan (D <0) /
Cari jenis persamaan x2 + 2x + 4 = 0.
Penyelesaian:
a = 1; b = 2; c = 4
D = b2 - 4ac
D = 22 - 4 (1) (4)
D = 4 - 16
D = -12
Oleh itu, kerana nilai D <0, punca persamaan adalah punca tidak nyata atau khayalan.
Cari Akar Persamaan Kuadratik
Terdapat beberapa kaedah yang boleh digunakan untuk mencari punca persamaan kuadratik. Antaranya ialah faktorisasi, petak sempurna, dan menggunakan formula abc.
Berikut ini menerangkan beberapa kaedah untuk mencari punca persamaan.
1. Pemfaktoran
Pemfaktoran / pemfaktoran adalah kaedah mencari akar dengan mencari nilai yang, jika digandakan, akan menghasilkan nilai yang lain.
Terdapat tiga bentuk persamaan kuadratik (PK) dengan faktorisasi faktor yang berbeza, iaitu:
| Tidak. | Bentuk persamaan | Pemfaktoran Root-Root |
| 1 | x 2 + 2xy + y 2 = 0 | (x + y) 2 = 0 |
| 2 | x 2 - 2xy + y 2 = 0 | (x - y) 2 = 0 |
| 3 | x 2 - y 2 = 0 | (x + y) (x - y) = 0 |
Berikut ini adalah contoh masalah mengenai penggunaan kaedah pemfaktoran dalam persamaan kuadratik.
Selesaikan persamaan kuadratik 5x 2 + 13x + 6 = 0 menggunakan kaedah pemfaktoran.
Penyelesaian:
5x2 + 13x = 6 = 0
5x2 + 10x + 3x + 6 = 0
5x (x + 2) + 3 (x + 2) = 0
(5x + 3) (x + 2) = 0
5x = -3 atau x = -2
Jadi, hasil penyelesaiannya adalah x = -3/5 atau x = -2
2. Petak Sempurna
Bentuk kuadratik yang sempurna adalah persamaan kuadratik yang menghasilkan nombor rasional .
Hasil persamaan kuadratik yang sempurna umumnya menggunakan formula berikut:
(x + p) 2 = x2 + 2px + p2
Penyelesaian umum untuk persamaan kuadratik yang sempurna adalah seperti berikut:
(x + p) 2 = x2 + 2px + p2
dengan (x + p) 2 = q, kemudian:
(x + p) 2 = q
x + p = ± q
x = -p ± q
Berikut adalah contoh masalah mengenai penggunaan kaedah persamaan yang sempurna.
Selesaikan persamaan x2 + 6x + 5 = 0 menggunakan kaedah persamaan kuadratik yang sempurna!
Penyelesaian:
x2 + 6x +5 = 0
x2 + 6x = -5
Langkah seterusnya adalah menambahkan satu nombor di sisi kanan dan kiri sehingga boleh berubah menjadi segi empat tepat.
x2 + 6x + 9 = -5 + 9
x2 + 6x + 9 = 4
(x + 3) 2 = 4
(x + 3) = √4
x = 3 ± 2
Jadi, hasil akhir adalah x = -1 atau x = -5
Baca juga: Definisi & Perbezaan Homonim, Homofon dan Homograf3. Rumusan Kuadratik ABC
Rumus abc adalah pilihan alternatif apabila persamaan kuadratik tidak dapat diselesaikan dengan faktorisasi atau kaedah kuadratik sempurna.
Berikut adalah formula abc untuk persamaan kuadratik ax2 + bx + c = 0.
Berikut adalah contoh penyelesaian masalah persamaan kuadratik menggunakan formula abc .
Selesaikan persamaan x2 + 4x - 12 = 0 menggunakan kaedah formula abc!
Penyelesaian:
x2 + 4x - 12 = 0
di mana a = 1, b = 4, c = -12
Membina Persamaan Kuadratik Baru
Sekiranya sebelum ini kita belajar bagaimana mencari akar persamaan, maka sekarang kita akan belajar menyusun persamaan kuadratik dari akar yang telah diketahui sebelumnya.
Berikut adalah beberapa cara untuk membina PK baru.
1. Bentukkan persamaan jika akarnya diketahui
Sekiranya persamaan mempunyai akar x1 dan x2, maka persamaan untuk akar tersebut dapat dinyatakan dalam sebutan
(x- x 1 ) (x- x 2 ) = 0
Contoh:
Cari persamaan kuadratik di mana punca antara -2 dan 3.
Penyelesaian:
x 1 = -2 dan x 2 = 3
(x - (- 2)) (x-3) = 0
(x + 2) (x + 3)
x2-3x + 2x-6 = 0
x2-x-6 = 0
Jadi, hasil persamaan bagi akar ini adalah x2-x-6 = 0
2. Bina persamaan kuadratik jika anda mengetahui bilangan dan produk punca
Sekiranya punca persamaan kuadratik dengan bilangan dan kali x1 dan x2 diketahui, persamaan kuadratik dapat ditukar menjadi bentuk berikut.
x2- (x 1+ x 2 ) x + (x 1. x 2 ) = 0
Contoh:
Cari persamaan kuadratik dengan punca 3 dan 1/2.
Penyelesaian:
x 1 = 3 dan x 2 = -1/2
x 1+ x 2 = 3 -1/2 = 6/2 - 1/2 = 5/2
x 1. x 2 = 3 (-1/2) = -3/2
Oleh itu, persamaan kuadratik adalah:
x2- (x 1+ x 2 ) x + (x 1. x 2 ) = 0
x2–5/2 x - 3/2 = 0 (setiap sisi didarab dengan 2)
2x2-5x-3 = 0
Jadi, persamaan kuadratik untuk akar 3 dan 1/2 ialah 2x2-5x-3 = 0.